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2012版步步高高考数学考前三个月专题复习课件5(3):空间向量与立体几何

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文档简介:

§3空间向量与立体几何空间向量与立体几何真题热身真题热身(2011·湖北湖北)如图,已知正三棱柱如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为底面边长为2,侧棱长为,侧棱长为32,点,点E在侧棱在侧棱AA1上,点上,点F在侧棱在侧棱BB1上,且上,且AE=22,BF=2.(1)求证:求证:CF⊥C1E;(2)求二面角求二面角E-CF-C1的大小.的大小.方法一(1)证明由已知可得CC1=32,CE=C1F=22+(22)2=23,EF2=AB2+(AE-BF)2,EF=C1E=22+(2)2=6,于是有EF2+C1E2=C1F2,CE2+C1E2=CC21,所以C1E⊥EF,C1E⊥CE.又EF∩CE=E,所以C1E⊥平面CEF.又CF⊂平面CEF,故CF⊥C1E.(2)解在△CEF中,由中,由(1)可得可得EF=CF=6,CE=23,于是有于是有EF2+CF2=CE2,所以,所以CF⊥EF.又由又由(1)知CF⊥C1E,且,且EF∩C1E=E,所以所以CF⊥平面平面C1EF.又C1F⊂平面平面C1EF,故,故CF⊥C1F.于是于是∠EFC1即为二面角即为二面角E-CF-C1的平面角.的平面角.由(1)知△C1EF是等腰直角三角形,所以是等腰直角三角形,所以∠EFC1=45°,即所求,即所求二面角二面角E-CF-C1的大小为的大小为45°.方法二方法二建立如图所示的空间直角坐标系,建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知可得,则由已知可得,A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,32),E(0,0,22),F(3,1,2).(1)证明证明C1E→=(0,-,-2,-,-2),CF→=(3,-,-1,2),C1E→·CF→=0+2-2=0.所以所以CF⊥C1E.(2)解CE→=(0,-,-2,22),设平面,设平面CEF的一个法向量为的一个法向量为m=(x,y,z),由m⊥CE→,m⊥CF→,得,得m·CE→=0,m·CF→=0,即-2y+22z=0,3x-y+2z=0,解得解得y=2z,x=0.可取可取m=(0,2,1).设侧面设侧面BC1的一个法向量为的一个法向量为n,由n⊥CB→,n⊥CC1→,及CB→=(3,-,-1,0),CC1→=(0,0,32),可取可取n=(1,3,0).设二面角设二面角E-C

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