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10利用向量解决平行与垂直问题(1)

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利用向量解决平行与垂直问题一、用向量处理平行问题例1:如图已知四边形ABCD、ABEF为两个正方形,MN分别在其对角线BF上,且FM=AN.求证:MN||平面EBCADCBEFNM:,,,,,.()()(BEABFMANFBACFBANACMNMFFAANBFEBACBEBAABADEBBEADEBBEBC证明在正方形ABCD与ABEF中,存在实数使FM)(1)..BEBEBCMNBEBCM、、共面平面EBC,MN||平面EBC评注:向量p与两个不共线的向量a、b共面的充要条件是存在实数对x,y使p=xa+yb.b.利用共面向量定理可以证明线面平行问题。本题用的就是向量法。11111111111111:,,(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,0,1)(1,0,1),(1,0,1)||.||||.||.||DADCDDxyzABCDDBCDBCDBDCBDBCBDBD111111证明如图分别以、、三边所在的直线为轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则则AA即直线AC,则A平面同理右证:A平面平面A11.CBD平面XYZ1A1B1CABCD1D评注:由于三种平行关系可以相互转化,所以本题可用逻辑推理来证明。用向量法将逻辑论证转化为问题的算法化,在应用向量法时需要合理建立空间直角坐标系,方能减少运算量。本题选用了坐标法。11||BDCBD11111例2.在正方形ABCD-ABCD中,求证:平面A平面二.用向量处理垂直问题:''''','.ABCDABCDCCBDAFBDE例3在正方体中.E,F分别是的中点.求证:平面FEXYZ,,''DADCDDxyzA证明:如图取分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2.A(2,0,0),B(2,2,0),(2,0,2)E(0,2,1),F(1,1,0)'(1,1,2),(2,2,0),(0,2,1)'(1,1,2)(2,2,0)0'(1,1,2)(0,2,1)0',',.'AFDBDEAFDBAFDEAFDBAFDEDBDEDAFBDE又平面评注:本题若用一般法评注:本题若用一般法证明,容易证证明,容易证A’F垂直于垂直于BDBD,而证,而证A’F垂直于垂直

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