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5[1][1].4分部积分法

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§5.4分部积分法分部积分法1方法:则存在且有连续导数若,)()(,)(),(dxxvxuxvxudxxvxuxvxudxxvxudxxvxu)()()()()()(,)()(且有也存在或:)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu2证明:)()()()())()((xvxuxvxuxvxu)()())()(()()(xvxuxvxuxvxu两边同时不定积分,则有:dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(【5-4-1】3说明:的积分计算的积分计算转化为此法是将)()()()()1(xvxuxvxu的计算简单才有意义比因而要求dxxvxudxxvxu)()()()((2)此法常用于计算两类性质不同函数乘积的不定积分,在计算中关键是u(x)与v(x)的选择问题,选择得当,计算将简化;否则会更复杂,有时甚至无法求出。如xdxxcos则有即令,sin,cos,xvxdxdvxuCxxxxdxxxxxdxdxxcossinsinsinsincos则有即若令,2,,cos2xvxdxdvxuxdxxxxxdxxxxxdxdxxsin21cos2cos2cos22coscos22222【5-4-2】(3)一般的选择原则:在选择u(x)与v(x)上,一般来说,有如下规律反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数相乘,将排在前者令为u(x),排在后者令为v(x)的导数,一般能简化计算。4举例例1求下列不定积分dxxex)1(xxdeCexedxexexxxxxdxln)2(xxdxxlnlndxxxlnCxxxln【5-4-3】xdxx2sin)3(xdxxxdxdxxx2cos212122cos1xxdx2sin4142)2sin2sin(4142xdxxxxCxxxx82cos42sin42xdxarctan)4(xxdxxarctanarctan2221)1(21arctan1arctanxxdxxdxxxxxCxxx)1ln(21arctan2【5-4-4】例2求下列不定积分(计算过程中出现方程)xdxexsi

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