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5.9 正弦定理、余弦定理(1)

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5.9正弦定理、余弦定理(正弦定理、余弦定理(1)在初中,我们已会解直角三角形在初中,我们已会解直角三角形.即由已知的边与角求出未知的边与角即由已知的边与角求出未知的边与角.如何来解斜三角形呢?如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?未知的边与角呢?———正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理.CABacb则,,,中,已知如图,在cABbACaBCABCRtAsinBsinCsin,Aacsin即,Bbcsin.sinCcccCcBbAasinsinsin问:在任意三角形中,这一关系式是否成立呢?如何问:在任意三角形中,这一关系式是否成立呢?如何证明?证明?,ca,cb,1如何构造向量等式?如何构造向量等式?jACB在锐角在锐角中,中,过A作单位向量作单位向量j垂直于垂直于,ACABCABCBACABjCBACj)()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACjAcCasinsin即CcAasinsin下面我们用向量来研究这个问题下面我们用向量来研究这个问题.等式:等式:同理,过同理,过C作单位向量作单位向量j垂直于垂直于,可得,可得CBCcBbsinsin在钝角三角形中,在钝角三角形中,jACB同样可证得:同样可证得:CcBbAasinsinsinABCBACABjCBACj)(Cabsin21hABCaABChaS21(三角形面积公式)(三角形面积公式)证明方法证明方法2:Bacsin21同理可证:同理可证:CbaAbcSABCsin21sin21CbaBacAbcSABCsin21sin21sin21CcBbAasinsinsin(正弦定理)(正弦定理)ABCh

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