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5.4-正定二次型-新

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文档简介:

一、一、正定二次型正定二次型二、正定矩阵二、正定矩阵三、三、n元实二次型元实二次型按定性按定性分类分类§5.4正定二次型正定二次型§5.4正定二次型正定二次型2/36一、正定二次型正定二次型则称则称f为正定二次型正定二次型.12(,,,)0nfccc如,二次型如,二次型是正定的;是正定的;2121(,,,)nniifxxxx12121(,,,)nniifxxxx一组不全为零的实数一组不全为零的实数都有都有12,,,nccc1、定义、定义:实二次型实二次型若对任意若对任意12(,,,)nfxxx§5.4正定二次型正定二次型3/362、正定性的判定、正定性的判定1)实二次型实二次型正定正定XAX,00nXRXXAX若,则2)设实二次型设实二次型f正定正定0,1,2,,idin证:充分性显然:充分性显然.下证必要性,若下证必要性,若f正定,取正定,取222121122(,,,)nnnfxxxdxdxdx则0()0,ifXd0()(0,,0,1,0,,0),1,2,,iXin0,1,2,,idin§5.4正定二次型正定二次型4/36经过非退化线性替换经过非退化线性替换X=CY化成化成则3)非退化线性替换不改变二次型的正定性非退化线性替换不改变二次型的正定性.1122000,,nnkckcYXCYkc1212(,,,)()(,,,)nnfxxxYCACYgyyy12000012(,,,)()(,,,)nnfcccXAXYCACYgkkk任取一组不全为零的数任取一组不全为零的数令12,,,,nkkk设正定二次型设正定二次型12(,,,)nfxxxXAX证明证明:§5.4正定二次型正定二次型5/36所以,非退化线性所以,非退化线性替换不改变二次型的正定性替换不改变二次型的正定性.又由于又由于C可逆,可逆,0Y0,所以,所以0,X0同理,若同理,若正定,则正定,则正定正定..fg1212(,,,)(,,,)0nngkkkfccc12(,,,)ngyyy正定.反之,实二次型反之,实二次型可经过非退化可经过非退化12(,,,)ngyyy不全

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